Пояснительная записка

Предлагаемый курс геометрии основной школы изложен в четырех книгах, представляющих собой единый комплект учебников, построенных на общих дидактических и научно-методических основах. Учебники соответствуют требованиям ФГОС, в то же время развивают традиции содержания и методов преподавания геометрии в России, обеспечивающее активное развитие пространственно-логического мышления учащихся, достаточного для усвоения смежных дисциплин, для продолжения общего и профессионального образования в различных сферах. Вместе с тем учебники учитывают мировые тенденции модернизации содержания обучения геометрии.

В состав УМК по геометрии для 7 – 9 классов (автор Г.Д. Глейзер, издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний») вместе с примерной учебной программой курса геометрии для 7-9 классов для каждого класса входят:

• учебник;
• набор цифровых образовательных ресурсов;
• методическое пособие.

Особую ценность представляет возможность продолжения обучения по учебникам автора в старшей школе. В состав УМК для старшей школы входят:

• Глейзер Г.Д. Математика. Геометрия: учебник для 10 - 11 классов.
• Глейзер Г.Д. Методическое пособие для учителя: 10-11 классы.

Сопровождение учебников по геометрии для 7-11 классов организовано через сетевую методическую службу издательства (http://metodist.lbz.ru).

Учебники снабжены навигационными инструментами:

• навигационной полосой «прокрутки»;
• специальными значками, акцентирующими внимание учащихся на важных конструктах параграфа, позволяющих связать в единый комплект все составляющие УМК благодаря ссылкам на учебно-методические пособия, цифровые образовательные ресурсы (www.fcior.ru), указания на учебные действия, «галочкой» отмечены темы, соответствующие кодификатору ГИА и ЕГЭ.

Таким образом, навигационный инструментарий учебников УМК активизирует деятельностный характер взаимодействия ученика с учебным материалом параграфа, закрепляют элементы работы с информацией в режиме перекрестных ссылок в структурированном тексте.

1. Соответствие содержания учебников современным научным представлениям

Теоретико-множественные понятия в курсе геометрии. Ни сама теория множеств, ни какая-либо из ее ветвей не является предметом изучения в предлагаемом курсе. Применяемый легко обозримый и существенно ограниченный набор теоретико-множественных понятий и символов используется в качестве своего рода элементов современного математического языка, без которого невозможно заниматься математикой или даже объяснить, чему посвящено объяснение. Вот тот ограниченный набор теоретико-множественных понятий (и соответствующих символов), используемых в курсе: множество, подмножество, упорядоченное множество (пара точек), принадлежность, пересечение и объединение множеств. Многие из названных понятий (если не все), так или иначе, присутствуют в курсах математики начальной школы, арифметики, алгебры и к началу изучения геометрии уже знакомы учащимся. Приведенный набор теоретико-множественных понятий позволяет при необходимости рассматривать фигуру как множество точек, рассматривать фигуру в качестве пересечения или объединения других фигур, рассматривать движения, гомотетии и подобия в качестве примеров точечных преобразований, что способствует развитию функционального мышления учащихся, наконец, позволяет в школьном курсе геометрии отказаться от языковых архаизмов и пользоваться единым математическим языком, применяемым в современной математике.

О логическом построении курса геометрии. Историясоздания систематического и достаточно строго курса геометрии начинается с «Начал» Евклида. Блестящее для своего времени изложение геометрии, служило на протяжении двух тысячелетий образцом логически грамотного построения науки (не только геометрии!) и вершиной человеческой мысли. Вместе с тем с педагогической точки зрения евклидова логическая система всегда была трудно преодолимой преградой для желающих усвоить геометрию. Достаточно отметить, что в ней сознательно и абсолютно игнорировалась идея движений, служившая до Евклида и после него эффективным методом добывания геометрических знаний.

В период совершенствования евклидовой логической системы, завершенного Д.Гильбертом, и после него были разработаны другие, столь же полные и непротиворечивые, логические системы, предназначенные для различных целей, в том числе и для сугубо педагогической – для корректного построения доступных школьных учебников, позволяющих естественным образом вводить и применять эффективные идеи и методы классической математики. Например, широко известны аксиоматические системы евклидовой геометрии, разработанные М.Пиери, В.Ф.Каганом, Ф. Шуром, Г.Виллерсом, Ф. Бахом, Дж. Бхркгофом (к идеям которого близки курсы академика А.В.Погорелова), Г.Гельмгольцем, Г.Вейлем.

Создание школьного курса геометрии, построенного на четкой логической основе, важно как с научной, так и с педагогической точек зрения – такое построение создает у учителя устойчивое ощущение принципиальной возможности реального осуществления доказательств тех геометрических фактов, которые изложены в учебнике, а также открывает возможность в рамках действующего учебника приобщать школьников к идее аксиоматического построения геометрии, организовать специальный факультатив или кружковые занятия на эту тему с математически «продвинутыми» учащимися, что чрезвычайно важно для их дальнейшего развития.

На основе изучения автором предлагаемых учебников различных логических моделей евклидовой геометрии, что отражено в его работах, он пришел к выводу, что логическая система, разработанная академиком А.Н. Колмогоровым, является наиболее удобной для доступного изложения школьного курса геометрии, легко обозримой, позволяющей естественным образом вводить в нее традиционное содержание обучения геометрии, геометрические преобразования, векторы, метод координат. Это обусловлено тем, что система аксиом А.Н. Колмогорова, в отличие от других аксиоматик евклидовой геометрии, носит компромиссный характер. С одной стороны, она базируется на неопределяемых понятиях «точка» и «расстояние» и имеет, таким образом, метрический характер, с другой, содержит аксиому подвижности плоскости, которой фактически постулируется существование всех видов движений.

Построение учебника на четкой логической основе должно быть близко и понятно современному учителю математики. Он сможет провести корректное доказательство теорем курса, ссылаясь на аксиомы. Конечно, изложение геометрии в представленных учебниках (как, впрочем, и во всех других школьных учебниках) нельзя считать полным. Доказательство некоторых теорем из-за их громоздкости или по другим методическим соображениям в учебнике не приводится. Но учитель, работая по предлагаемым учебникам, будет уверен, что это принципиально возможно сделать и будет знать как это доказательство провести в случае необходимости, например, при поступлении такого вопроса от математически одаренного ученика.

Рассматриваемые учебники созданы на основе представления, что построение учебника на четкой логической основе вовсе не означает необходимость доказательства всех теорем со ссылками на аксиомы. При осуществлении постепенного подхода к ознакомлению учащихся с логической структурой геометрии многие из них к завершению курса 9 класса смогут быть приобщены к осознанию идеи построения математической теории на аксиоматической основе.

Учебники предусматривают поэтапное ознакомление учащихся с логической структурой планиметрии: в 7-м и 8-м классах учащиеся знакомятся с примерами аксиом, с ними может быть проведена беседа об истории развития геометрии, рассказано о ее логической структуре. Их доказательства на этом этапе будут носить характер правдоподобных рассуждений. Затем, по срокам это может состояться в 9 классе, с учащимися может быть рассмотрена система основных понятий и аксиом планиметрии, а в 10 классе и логическая структура стереометрии. В 9 классе для математически «продвинутых» учащихся на базе этих учебников может быть организован специальный факультатив или кружковые занятия, посвященные вопросу логического строения геометрии, полноте и непротиворечивости системы аксиом, рассмотрена одна из моделей евклидовой геометрии. Логическая структура планиметрии приведена в одном из приложений учебника 9 класса, а логическая структура стереометрии – в приложении учебника 11 класса.

Геометрические преобразования в курсе геометрии. Как отмечалось выше,предлагаемый курс геометрии не построен на основе геометрических преобразований, они вводятся в качестве эффективного метода доказательства теорем и решения задач (что в учебниках многократно иллюстрируется). Наличие аксиомы подвижности плоскости позволяет естественным образом ввести движения, изучать отдельные виды движений, провести четкое минимально достаточное изложение их свойств, вплоть до классификации движений и подобий (что, впрочем, выходит за рамки обязательных требований к знаниям учащихся, но открывает в школе еще одну «дверь» в углубленное ознакомление с геометрией на факультативных или кружковых занятиях). В учебнике стереометрии после изучения движений вводится общее понятие симметрии геометрической фигуры и перечисляются элементы симметрии куба и правильного тетраэдра.

С «групповой» точки зрения геометрия – это наука об инвариантах групп геометрических преобразований. В соответствии с этой трактовкой, в классификационной модели современной геометрии в виде логических кругов Эйлера в центре будут круги, обозначающие движения и подобия. Образно говоря, сердцевиной современной геометрии как бы выступает школьный курс, основной предмет которого составляет изучение инвариантов группы движений и группы подобий.

В учебниках как раз и представлены геометрические преобразования этих двух групп – движения и подобия (плоскости и трехмерного пространства). Геометрические преобразования не сконцентрированы в одной или нескольких темах, а вводятся постепенно по мере накопления достаточного числа геометрических фактов для их введения на подходе к изложению такого геометрического материала, где преобразования можно эффективно применять. При этом, в силу подчиненного характера материала о преобразованиях, они не вводятся на основе понятий отображение, виды отображений, их обратимость и др., а вводятся на наглядной и сугубо геометрической основе.

Векторы, векторный и векторно-координатный метод в курсе геометрии. Векторное исчисление пробивало себе дорогу в высшую, а затем и в среднюю школу с очень большим трудом. Не вдаваясь в подробности истории проникновения векторов в вузовское и школьное обучения (что само по себе довольно интересно и важно), отметим лишь, что в 20-е гг. прошлого столетия векторное исчисление рассматривалось как специальный курс, читавшийся в очень небольшом числе вузов. Первый последовательно векторный курс аналитической геометрии для университетов академика Н. И. Мусхелишвили был издан в 1933 г. (впоследствии книга несколько раз переиздавалась). Для пединститутов первый «векторный» учебник аналитической геометрии (1948) был написан профессором А. М. Лопшицем; он содержал яркое и своеобразное изложение векторного исчисления, которое (как и вся книга) может представлять определенный интерес еще и сегодня. Спустя десятилетие начинается процесс проникновения векторного метода и в школьное преподавание. Следует отметить, что в школьный курс геометрии векторы входили с огромным трудом (впрочем, как и в курсы математики высших учебных заведений). И это характерно не только для советской, но и для зарубежной школы. В Советском Союзе в начале 60-х гг. была предпринята попытка приведения школьных учебников математики в соответствие с состоянием современной науки. Можно с уверенностью утверждать, что это явилось преддверием той перестройки всего математического образования, которая затем осуществлялась под руководством А. Н Колмогорова и А.И. Маркушевича. В 1963 г. В.Г. Болтянский и И.М. Яглом написали новый учебник геометрии для IX класса. Этим учебником, несмотря на его кратковременную жизнь в средней школе, впервые было показано, что вектор — необходимое понятие школьного курса, без которого уже ни один учебник в обозримом будущем обойтись не сможет.

Окончательное введение векторов в школьное математическое образование связано с учебным пособием по геометрии для VI—VIII классов под редакцией А. Н. Колмогорова, которое (в разных вариантах изложения, несколько менявшихся от издания к изданию) составило целую эпоху в становлении математического образования в советской и школе. Сейчас же немыслимо создание учебника геометрии средней школы, не содержащего элементов векторного исчисления и их применения к задачам геометрии.

В представляемых учебниках векторные и векторно-коодинатные методы излагаются систематично и последовательно, начиная с 8 класса. Они применяются к большому числу интересно подобранных задач. В 8-м классе вводится понятие вектора, изучаются три операции над векторами - сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число. Эти операции рассматриваются как в векторной форме, так и в координатной. Затем с помощью операции умножения вектора на число вводится гомотетия, и доказываются ее свойства. В 9-м классе изучается скалярное произведение векторов, которое применяется к выводу теоремы косинусов, являющейся обобщением теоремы Пифагора и играющей важную роль в решении многих задач, в которых приходится находить элементы треугольников. В 10-м классе изучается векторный метод в пространстве и применяются операции над векторами (сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов) к задачам стереометрии, связанным с определения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. В 11-м классе изучается векторно-координатный метод, операции над векторами в координатной форме и эти знания применяются к нахождению расстояний в пространстве, длин пространственных объектов, вычислению углов, выводу уравнений плоскости и сферы, формулы расстояния от точки до плоскости и многим другим более частным задачам стереометрии.

Элементы тригонометрии в курсе геометрии. Элементы тригонометрии традиционно присутствуют в курсе планиметрии и широко применяются к задачам планиметрии и стереометрии. Теоретическая часть этого материала сосредоточена в теме 9-го класса «Тригонометрические функции. Решение треугольников», содержащей определения тригонометрических функций, их изменение на промежутке от 0 до (т. е. в пределах значений угловых величин выпуклых многоугольников), вывод некоторых из основных тригонометрических тождеств, изучение соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, применение в теоремах косинусов и синусов. Несмотря на ограниченность набора этих сведений они находят довольно широкое применение как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии во всех задачах, где приходится находить элементы треугольников.

Элементы стереометрии в курсе планиметрии. Эффективностьвключения элементов стереометрии в курс планиметрии доказана многочисленными педагогическими исследованиями и экспериментами, в том числе подтверждена многолетней практикой работы по предшествующим изданиям предлагаемых учебников. В учебнике используются образы пространственных объектов хорошо известные детям из предшествующего обучения в школе и жизненной практики, во всех случаях приводится наглядное изображение объекта, дается подробное описание формы рассматриваемого объекта (геометрического тела, его сечения, грани, основания и т.п.). Задачи и вопросы стереометрического типа в курсе планиметрии способствуют достижению ряда педагогических целей: способствуют более глубокому усвоению планиметрии на основе сопоставления и противопоставления планиметрических и стереометрических понятий, утверждений, образов; содействуют обогащению пространственных представлений учащихся и развитию их пространственного воображения; помогают осуществлять межпредметные связи и актуализировать связи обучения с практической деятельностью учащихся; позволяют лучше подготовить учащихся к восприятию курса стереометрии, в частности, препятствуют формированию у них закостенелых двумерных представлений, которые при переходе к изучению стереометрии, как известно, тормозят усвоение стереометрических понятий и утверждений. Завершается курс планиметрии специальной темой, посвященной вычислению площади поверхности и объема геометрических тел. В этой теме учащихся знакомятся с практическими приемами определения искомых величин, выполняют задания, предъявляемые по методикам, сходным с проведением лабораторных работ по физике (фактически по готовым формулам, к которым даются необходимые пояснения).

Важной составной частью учебников планиметрии являются методические средства по обогащению пространственных представлений учащихся и развитию их пространственного воображения. Такие средства реализуются в представляемых учебникам следующим образом: плоские фигуры по возможности рассматриваются расположенными различным образом в трехмерном пространстве, при опоре на жизненный опыт учащихся и их знакомство с трехмерными объектами, в частности, многими геометрическими телами; систематически привлекаются неплоские пространственные образы при решении планиметрических задач; при изучении различных множеств (геометрических мест) точек рассматриваются соответствующие множества точек трехмерного пространства, опираясь на пространственную интуицию учащихся; систематически учащиеся знакомятся с изображениями различных геометрических тел и их сечений, привлекаются к выполнению чертежей, изготовлению разверток и моделей геометрических тел. Эффективному развитию пространственного мышления способствуют также практико-ориентированные задачи и задания, содержащиеся в учебнике.

Не являясь предметом специального или самостоятельного изучения, в учебниках представлены эффективные идеи и методы, широко применяемые в классической и современной математике:

• ознакомление с минимально достаточным набором элементов языка теории множеств,
• построение курса школьной геометрии на четкой и легко обозримой логической основе,
• ознакомление учащихся с эффективными методами доказательства теорем и решения геометрических задач - векторным, векторно-координатным методом, методами геометрических преобразований (движением и подобием),
• применением элементов интегрального исчисления к вычислению объемов геометрических тел,
• применением элементов тригонометрии к решению задач, сводящихся к нахождению элементов треугольников.

2. Соответствие содержания учебников требованиям к метапредметным, личностным и предметным результатам освоения основной образовательной программы (См. таблицу «Метапредметные и личностные результаты обучения по УМК «Геометрия 7 – 9» Г. Д. Глейзер»)

ФГОС предусмотрены три вида результатов освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования:

• личностные, включающие готовность и способность обучающихся к  саморазвитию и личностному самоопределению, сформированность их мотивации к обучению и целенаправленной познавательной деятельности, системы значимых социальных и межличностных отношений, ценностно-смысловых установок, отражающих личностные и гражданские позиции в деятельности, социальные компетенции, правосознание, способность ставить цели и строить жизненные планы, способность к осознанию российской идентичности в поликультурном социуме;
• метапредметные, включающие освоенные обучающимися межпредметные понятия и универсальные учебные действия (регулятивные, познавательные, коммуникативные), способность их использования в учебной, познавательной и социальной практике, самостоятельность планирования и осуществления учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками, построение индивидуальной образовательной траектории;
• предметные, включающие освоенные обучающимися в ходе изучения учебного предмета умения специфические для данной предметной области, виды деятельности по получению нового знания в рамках учебного предмета, его преобразованию и применению в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях, формирование научного типа мышления, научных представлений о ключевых теориях, типах и видах отношений, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами.

3. Соответствие содержания учебников возрастным особенностям учащихся

В учебниках важно не только изложение содержания, но и форма его организации. Именно форма организации учебного материала определяет на каждом этапе обучения характер (форму) познавательной деятельности учащихся.

В педагогической науке издавна рассматриваются три формы познавательной деятельности учащихся:

• материальная (применительно к обучению геометрии это моделирование и конструирование геометрической наглядности, выполнение рисунков и чертежей, выполнение геометрических построений);
• умственная (мышление, в том числе образное – формирование пространственных представлений и пространственное воображение);
• речевая(устная и письменная речь, словесное оформление рассуждений и доказательств).

Известно, что максимальный эффект в усвоении знаний достигается в том случае, когда все названные виды деятельности актуализированы и включены в процесс обучения в органической взаимосвязи друг с другом. Органическое единство названной выше триады форм познавательной деятельности учащихся можно считать педагогическим условием эффективности обучения вообще, геометрии – в частности.

При обучении конкретному учебному материалу необходимо соблюдение меры вещей – роли и удельного веса каждого из видов познавательной деятельности в этом процессе. Известно, что именно возрастными особенностями подростков определяется превалирование в обучении тех или иных форм познавательной деятельности. Этим соображением определяется и выбор эффективного сочетания форм познавательной деятельности при изучении конкретного геометрического материала.

У подростков, приступающих к изучению геометрии, наглядно-образное мышление превалирует над абстрактно-логическим мышлением. Поэтому, например: разъяснение определения угла как фигуры сопровождается рассмотрением (и изображением) всевозможных случаев пересечения и объединения двух полуплоскостей; ознакомление учащихся с определением и видами параллелограммов, их классификацией сопровождается рассмотрением всевозможных пересечений двух полос (и их изображением); доказательству теоремы о расстоянии между двумя точками (в координатах) предшествует решение задачи о нахождении расстояния между двумя точками, заданными конкретными числовыми значениями их координат.

В предлагаемых учебниках геометрии при изложении каждого конкретного вопроса автор пытается найти разумное сочетание применения различных форм познавательной деятельности в соответствии с возрастными особенностями подростков. Это достигается специальными подходами в изложении конкретного материала и разнообразной системой вопросов (в том числе для фронтальной работы с классом в процессе их коллективного обсуждения) и упражнений, предназначенных для глубокого понимания учебного материала, его углубления, закрепления, повторения, самопроверки усвоения.

4. Система вопросов и заданий в учебниках

Предлагаемые учебники представляют собой органическое объединение теоретического материала с системой упражнений, развивающей теорию, иллюстрирующей ее применение, обеспечивающей усвоение методов применения теории к решению задач, формирование необходимых умений и навыков, закрепление, проверку и самопроверку усвоения знаний и умений. Практическая часть учебников состоит из следующих видов упражнений:

Задания, предлагаемые учащимся к выполнению в процессе объяснения (или самостоятельного изучения) теоретического материала. Целевая установка этих заданий различна: подготовка на частном примере к усвоению доказательства в общем виде, непосредственное применение теории, акцент на особенности ее применения и др. Во всех случаях главная педагогическая цель – вовлечение учащихся в процесс активного изучения теории, лишение их возможности оставаться пассивными слушателями или наблюдателями рассуждений и действий учителя.

Вопросы и задачи по материалу параграфа.

Вопросы и задачи по материалу главы.

Имеющиеся в последних двух разделах вопросы позволяют, как правило, в устной форме проверить насколько верно учащиеся поняли объяснение учителя. Они могут быть использованы для организации фронтальной работы в классе.

Задания для самопроверки.

Повторение, вопросы и задачи повторительного характера по материалу класса.

Особо следует сказать о наличии в учебнике двух типов упражнений, эффективно способствующих пространственно-логическому развитию учащихся и формированию умений применения знаний в повседневной практике: упражнений, составленных на основе умеренного фузионизма, а также вопросов и задач, специально направленных на обогащение пространственных представлений учащихся и развитие их пространственного воображения.

5. Цель и задачи курса «Геометрия» для 7-9 классов

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Цель содержания раздела «Геометрия» – развить у учащихся пространственное воображение и логическое мышление путем систематического изучения свойств фигур на плоскости и в пространстве и применения этих свойств к решению задач вычислительного и конструктивного характера. Существенная роль отводится развитию геометрической интуиции. Сочетание наглядности со строгостью является неотъемлемой частью геометрических знаний.

Материал, относящийся к блокам «Координаты» и «Векторы» в значительной степени несет в себе межпредметные знания, которые находят применение как в различных математических дисциплинах, так и в смежных предметах.

Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

• освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами;
• развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки
• математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

6. Содержательные линии курса «Геометрия» для 7-9 классов

В учебниках систематично и последовательно изложено классическое содержание школьного курса плоской и пространственной (трехмерной) геометрии. Это содержание следующим образом распределено по классам:

7 класс:

Основные понятия геометрии (прямая, луч, отрезок, угол, виды углов и их градусное измерение; окружность и круг, соответствие между центральными углами, дугами и хордами, смежные и вертикальные углы и их свойства; параллельность и перпендикулярность прямых, углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными прямыми; примеры аксиом и теорем, структура теоремы, понятие о взаимно-обратных теоремах, рассказ о строении геометрии).

Треугольники. Осевая симметрия (виды треугольников; сумма углов, свойство внешнего угла; осевая симметрия, свойство равнобедренного треугольника, расстояние от точки до прямой; соотношение между длинами сторон и величинами углов треугольника, свойство катета, лежащего против угла в 30°; биссектрисы, медианы и высоты треугольника; вписанный угол и его измерение, касательная к окружности, взаимное расположение двух окружностей, свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, равенство дуг одной и той же окружности).

Равенство треугольников, геометрические построения (понятие равенства треугольников, признаки их равенства, признаки равенства прямоугольных треугольников; основные геометрические построения – построение угла, равного данному углу, деление отрезка на два равных отрезка, деление угла на два равных угла, построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, построение касательной к окружности, построение треугольников по данным основным элементам; ознакомление учащихся с общей идеей и планом решения задачи на построение).

8 класс:

Четырехугольники (понятие многоугольника и четырехугольника; полоса и расстояние между параллельными прямыми, параллелограмм, его общие свойства и признаки, классификация параллелограммов; виды параллелограммов – прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства; трапеция, виды трапеций, средняя линия трапеции и треугольника; свойство медиан треугольника; теорема Фалеса, деление отрезка на равные отрезки).

Измерение площадей (ознакомление учащихся с задачей измерения площади; площадь прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, произвольного многоугольника; понятия о равновеликости и равносоставленности фигур).

Векторы (см. раскрытие ипояснения в следующем пункте этой справки).

Подобие (понятия отношения и пропорциональности отрезков; подобие и гомотетия, их свойства; теоремы о пропорциональных отрезках, свойство биссектрисы угла треугольника; признаки подобия треугольников, отношение периметров и отношение площадей подобных многоугольников)

9 класс:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора (метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника, построение среднего пропорционального между двумя отрезками, теорема Пифагора; расстояние между двумя точками, заданными своими координатами, уравнение окружности; длина окружности, длина ее дуги, длина хорды и ее расстояние от центра окружности).

Тригонометрические функции. Решение треугольников (угол как мера поворота и вращения, радианное измерение угловых величин; тригонометрические функции углов и их изменение при изменении угловых величин от 0 до , таблицы значений тригонометрических функций; соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов, основные тригонометрические тождества; скалярное произведение векторов, теоремы косинусов и синусов, формулы площади треугольника, решение треугольников).

Многоугольники и окружность (сумма величин внутренних и сумма величин внешних углов выпуклого многоугольника; число точек, определяющих окружность, треугольники, вписанные в окружность и описанные около окружности, выражение высоты правильного треугольника, радиусов вписанной в него и описанной около него окружностей через его сторону; вписанные и описанные многоугольники, свойства вписанных и описанных четырехугольников, построение правильных многоугольников, вычисление их сторон; теорема о пересечении высот треугольника, четыре замечательные точки в треугольнике; вычисление площади правильного многоугольника, круга, кругового сегмента и кругового сектора).

Площади поверхностей и объемы геометрических фигур (выполнение практических работ, решение задач и пояснения к формулам площадей поверхностей и объемов призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара).